|
Forside
Søgning
Liste |  |
Prioritetsstriden mellem Newton (1642-1727) og Leibniz (1646-1716):
Opfindelsen af differential- og integralregning
1. Indledning
I sidste halvdel 1600-tallet skete der store fremskridt i både matematik og fysik, som hang sammen med forløbet af den naturvidenskabelige revolution. Mekanikken, som er meget matematisk, fik en førerposition med Galilei og Newton. Den har været meget matematisk lige siden Archimedes (se -250).
Det store gennembrud for koordinatgeometri (Descartes, Fermat og Newton) og den matematiske analyse, dvs. differential- og integralregning (Newton og Leibniz), betød, at matematiske og fysiske problemer, som det før havde krævet næsten genialitet for at løse ét efter ét, nu kunne løses i almenhed med generelle og næsten mekaniske metoder.
Newton begyndte at skrive om sin version af differentialregning, fluxionsregning, allerede i sin mest frugtbare periode 1664-66, hvor han var i begyndelsen af 20'erne. Men han ventede mange år med at offentliggøre sine ideer. Det skete først i 1687 i hans hovedværk Principia, som handler om matematisk fysik, specielt mekanik. Det vil sige, selv ikke her i Principia skrev han direkte om sin opfindelse af differential- og integralregning: Han iklædte sin matematik gammel græsk geometrisk klædedragt.
I forbindelse med udgivelsen af sit andet hovedværk Opticks i 1704, offentliggjorde Newton for første gang to af sine grundlæggende matematikartikler. Den ene handler om koordinatgeometri, den anden om Newtons begreb "fluxionsregning". Men selve storværket Opticks er ikke matematisk, det bygger på nogle fine eksperimenter om især lys og farver, som Newton også havde lavet i 1664-66. Så de to matematikartikler står som appendix til 1. udgaven af Opticks.
Newtons uvilje mod at publicere skyldtes nok hans patologiske angst for kritik. Desuden havde forlagene på den tid fået kolde fødder over for at trykke matematikafhandlinger pga. en konkurs, der skyldtes publiceringen af en matematikbog af Newtons forgænger, Isaac Barrow.
Leibniz derimod begyndte først at skrive om sin version af integralregning i 1673-75, og også han ventede med at publicere sine resultater. Hans første publikationer om differential- og integralregning kom i 1684 og 1686, dvs. før Newton.
Som man kan se, fik Newton ideerne først, mens Leibniz publicerede først: Dvs. en klassisk prioritetskonflikt. Man har spekuleret over, om Leibniz fik ideerne fra Newton, men i dag mener forskerne, at Leibniz' opfindelse af differential- og integralregning i det store og hele var uafhængig af Newton. Men han har sandsynligvis hørt lidt om Newtons ideer. Dog er deres versioner så tilpas forskellige, at dette alene begrunder vurderingen af uafhængigheden. Men hvor forskellige deres versioner er, det er stadig et omdiskuteret spørgsmål. Men én ting er givet: Begge versioner er forskellige fra den moderne version af den matematiske analyse. De to former for forskelle vil blive forklaret nedenfor.
2. Forskelle og ligheder mellem Newton og Leibniz' versioner af differential- og integralregning
Newton skabte sin metode ud fra mekanikken, dvs. han så på variable, der ændrer sig med tiden: bevægelser, hastighed og acceleration etc. Newtons begreber handlede således om kontinuert varierende størrelser. Men han havde også brug for størrelser, der var "uendelig små" (infinitesimaler).
Leibniz derimod så mere filosofisk på de grundlæggende ideer: Han betragtede variable, der varierer over "følger af uendelig tætte værdier". Dvs. for Leibniz drejede det sig om størrelser, der varierer "i spring", dvs. diskret. Men også han havde brug for infinitesimaler (uendelig små størrelser). Leibniz skabte bl.a. følgende symboler:
∫, dvs. integraltegnet, som er et stiliseret S (for summation)
dx og dy for differentialer, dvs. "uendelig små" tilvækster
dy/dx for differentialkvotient
Selv om Newtons og Leibniz ideer ikke var identiske, bidrog de begge til den fundamentale regning med differentiation og integration. Der havde været forgængere, men det var disse to mænd, der skabte den generelle metode. Deres regneregler og facit på opgaver var den samme, og denne form for matematik var effektiv til at løse problemer i matematik og fysik. Men for begge versioner gjaldt, at grundlaget var temmelig luftigt:
| "Uendelig små" størrelser, som i det ene øjeblik sættes forskellige fra nul, for at man kan dividere med dem, og i et andet øjeblik sættes lig med nul, så man kan stryge dem - hvad i alverden er det? |
3. Prioritetskonflikten
| Sådan så de ud: x |  |  |
LEIBNIZ | NEWTON |
| -og sådan blev de opfattet: x |  |
Desværre udviklede forholdet mellem disse to jævnbyrdige giganter sig negativt, og det endte med en ødelæggende prioritetsstrid, hvor næsten alle Europas matematikere deltog. Den ene lejr bestod af Newton og engelske matematikere, den anden lejr bestod af Leibniz og matematikerne på det europæiske fastland. Begge hovedpersonerne og deres væbnere snød! Newton misbrugte sin position som præsident for Royal Society (det engelske videnskabernes akademi), og Leibniz misbrugte sin position som redaktør og grundlægger af ét af de mest ansete matematiske tidsskrifter, Acta Eruditorum. Indimellem arbejdede de også begge anonymt i striden. Det endte med, at Europa blev delt i to lejre, hvad der desværre førte til en isolering af engelsk matematik i ca. 100 år efter Newtons død.
Newton havde selv nærmest været autodidakt: Selv om han officielt var studerende ved Cambridge Universitet, havde han studeret på egen hånd og f.eks. selv anskaffet sig alle hovedværkerne i matematik og fysik, både de græske og de moderne fra den naturvidenskabelige revolution. De engelske universiteter var nemlig håbløst bagud i Newtons studietid. Han havde også altid suverænt selv bestemt, hvilke opgaver han ville beskæftige sig med.
Han gjorde, hvad der passede ham i sine yngre år, hvor han var ekstremt kreativ. I 1693 fik han som ca. 50-årig et nervesammenbrud, sandsynligvis bl.a. fordi hans kreativitet var ved at svinde pga. alderen. Han kom sig heldigvis, men i erkendelsen af den mindre kreativitet mht. matematik og fysik, tog han imod administrative lederstillinger i London fra 1696. Nu skiftede han personlighed: Hvor han i Cambridge nærmest havde været en konfliktsky eneboer, blev han nu en "stor mand" i London, og han ønskede og fik nærmest diktatorisk magt. F.eks. kunne unge matematikere og fysikere kun få et af de få job, hvis de blev Newtons spytslikkere. Newtons autoritet viste sig derfor fatal for engelsk matematik de næste ca. 100 år.
Ganske vist fik Newton sine ideer ca. 10 år før Leibniz; men det var overvejende Leibniz' formuleringer, der "vandt". Det skyldtes især hans heldige hånd med skabelsen af nogle effektive symboler, som det er vist ovenfor. (Tegnene for integral og differentiale). Leibniz var heller ikke så autoritær over for yngre matematikere på fastlandet, som Newton var i England, så det er en anden grund til, at den matematiske udvikling fulgte mere i Leibniz' fodspor, end i Newtons.
Men ideerne lå nok i luften dengang. Det gælder også ved mange andre prioritetsstrider.
4. Tiden umiddelbart efter Newton og Leibniz: 1700-tallet
I Schweiz fandtes der omkring denne tid en hel familie af begavede matematikere og forskere i matematisk fysik: Bernoulli familien. Brødrene Jakob (1654-1705) og Johann (1667-1748) (som var elev af Leibniz) deltog i kampen, mest på Leibniz side. De var også med til at popularisere Leibniz' ofte svært tilgængelige artikler og til at videreudvikle "infinitesimalregningen.", som den matematiske analyse også kaldes.
Leonhard Euler (1707-1783) var også en stor schweizisk matematiker og fysiker, elev af Johann Bernoulli. Euler blev inviteret til Skt. Petersborg til Det Kejserlige Russiske Videnskabernes Akademi, skabt af zar Peter den Store, hvor Euler boede i mange år. Han var ligesom Leibniz én af skaberne af den moderne matematiske terminologi og notation, bl.a. inden for infinitesimalregningen. På trods af, at Euler endte sine dage som blind, er han historiens mest skrivende matematiker. Hans sønner og medarbejdere hjalp ham med at skrive i de sidste år. Først med Euler bliver matematikken læsbar for moderne matematikere og fysikere.
5. Præciseringen af definitioner og fremgangsmåder i infinitesimalregningen
Den irske teolog og filosof, George Berkeley (1685-1753), skrev i 1734 i sin "Analyst" en voldsom kritik af den matematiske analyses grundlag. I sin polemik langede han især ud efter et begreb som infinitesimaler (dvs "uendelig små" størrelser).
| Når matematikerne angreb teologerne for luftige begreber, sagde Berkeley, så brugte de selv lige så luftige begreber! |
Den præcise formulering af differential- og integralregningens grundlæggende begreber (herunder bl.a. grænseværdibegrebet) kom først i 2. halvdel af 1800-tallet med den franske matematiker og fysiker Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og den tyske matematiker Karl Weierstrass (1815-1897). Det skete på et tidspunkt, hvor mange matematikere følte et stort behov for at "få ryddet op i matematikkens grundlag". Selve tallene, det vil især sige de reelle tal, som "udfylder" tallinien i modsætning til de hele tal og brøkerne, savnede et grundlag. Det fik de med Cauchy og specielt Weierstrass. Og så var vejen endelig banet for en præcis formulering af infinitesimalregningens begreber og fremgangsmåder. Weierstrass indførte sin berømte ε - δ formulering ved grænseværdibetragtninger, som er meget vigtige i analysen. Han kaldes "den matematiske analyses fader".