Forside Søgning Liste

Kortfattet oversigt over Newtons matematik

1. Indledning

Den engelske matematiker og fysiker Isaac Newton (1642-1727) skabte noget af det mest betydningsfulde matematik, der nogensinde er skabt. Men delvis pga. hans uvilje og angst for kritik fik han kun offentliggjort 6 afhandlinger i sin egen levetid. Da Derek Thomas Whiteside for første gang udgav Newtons samlede matematiske manuskripter i 1967-81, så fyldte de 8 store bind! Så Newton lå ikke på den lade side, faktisk kørte han sig selv så hårdt i de kreative år, at det bidrog til, at han fik to nervesammenbrud, et lille i 1678 og et stort i 1693.

På Newtons tid kunne det være svært at få trykt avanceret matematik. De engelske forlag havde fået kolde fødder efter en konkurs pga. trykning af et værk af Newtons forgænger som matematikprofessor i Cambridge, Isaac Barrow. Dengang var der ikke ret mange muligheder for "publicering". Meget matematik blev imidlertid formuleret i korrespondancer og mundtligt. Tidsskrifter var der ikke mange af dengang. De matematiske og naturvidenskabelige tidsskrifter startede først omkring 1660 ved dannelsen af det engelske Royal Society og videnskabsakademierne i andre lande, herunder Frankrig og Tyskland.

2. Newton og skabelsen af differential- og integralregning

Fire af Newtons publicerede afhandlinger om matematik blev banebrydende næsten med det samme. Men det viste sig ved Whitesides detektivarbejde, at disse fire banebrydende artikler næsten kun var resuméer af længere afhandlinger, som først blev udgivet i 1967-81. Den ene af de fire handler om koordinatgeometri, eller analytisk geometri. Se senere. De tre andre handler om differential- og integralregning, som først blev opfundet i sin generelle form af Newton og tyskeren Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Den moderne udgave af disse to regningsarter kaldes for "matematisk analyse".

Man kan finde mere fagligt betonede artikler om de to nye regningsarter på vores hjemmesides kronologiske liste 2: 1600-1700. Der står en artikel om differentiation under 1670, og en anden artikel om integration, også under 1670. NB Det faglig-tekniske stof står som blå link på vores lister.

Newtons opfindelse af differential- og integralregningen er noget af det største, der er sket i matematikkens og fysikkens historie. Selv i vore dage er de helt uundværlige hjælperedskaber i matematik, fysik og teknik. Uden dem havde det fx ikke været muligt at sende satellitter ud i rummet og få nogle af dem hjem igen. Men Newton havde en meget sårbar personlighed. Man kan læse mere om Newtons personlighed andre steder på denne hjemmeside: Under 1704 står der dels en stor Newton biografi, og i en anden indførsel også under 1704 står der en kort version med titlen Newtons krise. Denne artikel udkom oprindelig i bladet Psykiatriinformation, september 2011.

3. Koordinatgeometrien

Inden vi går over til differential- og integralregingen og en diskussion af Newtons og Leibniz bidrag hertil, så vil vi her kort skrive om den anden "smarte" udvikling i matematikken i 1600-tallet, hvor Newton også spillede en rolle. Nemlig koordinatgeometrien eller den analytiske geometri. Den var først opfundet af franskmændene Fermat og Descartes. Den gjorde det meget nemmere at lave beregninger: I stedet for den klassiske, græske geometri, der var matematisk smuk, men upraktisk, så kunne man nu ved hjælp af koordinatgeometrien "oversætte" problemerne/opgaverne fra geometri til algebra, som er nemmere ved beregninger. Dette kan man læse om under "1637 Koordinatsystemet".

4. Integrationens og differentiationens historie

Newton og Leibniz opfandt uafhængigt af hinanden den generelle form for differential- og integralregning, som man i dag også kalder den matematiske analyse. Disse regningsarter bygger på begrebet infinitesimaler, dvs. "uendelig små størrelser", et luftigt begreb, som først blev matematisk korrekt defineret i anden halvdel af 1800-tallet, ca. 200 år efter Newtons og Leibniz opfindelser.

Der havde været forløbere for Newtons og Leibniz arbejder, endda helt tilbage til det gamle Grækenland, se under "-250 Archimedes". Men Newton og Leibniz var de første, der skabte en generel metode. Tidligere havde man været nødt til at løse hvert problem for sig, og ved hjælp af temmelig meget opfindsomhed hver gang, og nogle af problemerne havde man før slet ikke været i stand til at løse. Efter Newton og Leibniz kunne alle matematikere, ikke blot genierne, løse de relevante problemer hurtigere og nemmere, ja, nogle gange temmelig mekanisk. Sammen med koordinatgeometrien gjorde det livet lettere for matematikere. Men selvfølgelig dukkede der nye, svære opgaver op!

Newton og Leibniz røg ind i en af videnskabshistoriens bitreste prioritetsstridigheder, som involverede alle datidens matematikere i Europa. De engelske var på Newtons side, dem på det europæiske fastland var på Leibniz side. Man kan groft sagt sige, at Newton vandt i live, mens Leibniz vandt efter sin død. Denne kamp satte engelsk matematik tilbage efter fastlandets i 100 år efter Newtons død i 1727. Se under "1675 Prioritetsstriden", som også handler om ligheder og forskelle mellem deres versioner.

Inden jeg udfolder historien om Newtons matematik, vil jeg lige nævne, hvorfor matematikere og fysikere er så interesserede i integration og differentiation.

Interessen for at opfinde integration kom fra det behov, man har haft siden Antikken, for at beregne arealer. I det gamle Grækenland udførtes arealberegninger med metoder, der foregriber integration, se igen under "-250 Archimedes", samt under "-300 Euclid". Grækerne brugte betegnelsen kvadratur for arealbestemmelse. Dette ord kommer af ordet for fire og at gøre firkantet.

Da Newton opfandt sin version af integralregningen, overtog han betegnelsen kvadratur (engelsk quadrature), som hos ham dækker det nye begreb, som vi kalder integration, dvs. bestemmelse af integraler eller stamfunktioner. Man kan læse mere om integration under "1670 Integration". Interessen for differentiation stammede fra behovet for at beregne hastigheder og finde tangenter til kurver, to vigtige problemer i fysik og astronomi. Se under "1670 Differentiation".

5. Om karakteren af Newtons matematik

Newton anvendte meget matematik i sine fysiske arbejder, både sine egne resultater og andres. Men det gjaldt især hans hovedværk Principia (1687), som handler om himlens og jordens mekanik, og som giver hans to store resultater: Newtons tre love og Tyngdeloven. Principia regnes for et af naturvidenskabens absolutte hovedværker. Det matematiske apparat, som Newton bruger i værket, gør det svært at læse, ikke bare for almindelige mennesker, men også for nutidens fagfolk. Det skyldes bl.a., at Newton ikke skrev sine egne smarte metoder direkte, men iklædte dem en mere traditionel og klodset sprogdragt, som lignede den klassiske græske. Se nedenfor.

Hans andet hovedværk Opticks fra 1704 er mindre matematisk og dermed lettere at forstå. Opticks handler om Newtons banebrydende eksperimentelle resultater vedrørende lysets og farvernes natur. Men det var først i 1. udgaven af Opticks (som var på engelsk, i modsætning til Principia), at han endelig publicerede 2 artikler om sin egen matematik i dens direkte form. Til gengæld havde disse to artikler ikke nogen direkte forbindelse til resten af værket om optik!

Newton kaldte sin version af differential- og integralregningen fluxionsteori. (Flux betyder "flyde"). Han var ikke lige så god som Leibniz til at opfinde symboler, og i dag er det derfor mest Leibniz symboler, vi bruger. Men når man, især i fysik og ingeniørvidenskab, differentierer med hensyn til tiden, bruger man stadig tit Newtons symbol, som er en prik over den variable.

Også symbolet o(x) om en betegnelse for en "en funktion, der går hurtigt mod nul, når x går mod nul", skyldes Newton.

Når Newton brugte sin fluxionsteori i Principia, så prøvede han at gøre sin matematik og fysik mere konventionel, for at datidens matematikere ikke skulle blive alt for fornærmede med det samme. Man må huske på, at Newtons resultater var revolutionerende, både med hensyn til matematik og fysik. Samtidig var Newton, ligesom Darwin, utrolig pirrelig, for ikke at sige angst, over for kritik. Desuden irriterede det Newton at skulle spilde sine kreative evner på skænderier med modstandere, som han opfattede som fjender. Derfor prøvede han at slette sine spor og lade som om, han blot havde brugt klassisk græsk geometri.

Læseren kan få anskueliggjort forskellen mellem den "gamle" stil og den "nye" stil ved at sammenligne to steder her på hjemmesiden. I "1684 Newton og Keplers love" behandles sammenhængen mellem Newtons og Keplers love i klassisk græsk stil, som Newton selv gjorde det i Principia. I "1686 Fra Kepler til Newton i polære koordinater" behandles sammenhængen mellem Keplers og Newtons love ved hjælp af den nye matematik: Dels den nye differential- og integralregning, dels de såkaldte polære koordinater, hvor Newton også var en af pionererne. Se under "1685 Polære koordinater". Forskellen mellem de to fremstillinger er stor og tankevækkende.

Den græske oldtids store matematiker og fysiker Archimedes lavede i øvrigt et tilsvarende trick i sin fremstillingsform: Han fandt nogle af sine matematiske resultater ved hjælp af argumenter, som hører hjemme i fysikken (mekanikken), og som "rigtige" matematikere ikke finder tilfredsstillende. Men når Archimedes skrev dem ned, så slettede han også sine spor og skrev sine resultater på den gængse græske maner ud fra axiomsystemer mm. Det kan man læse om under "-250 Archimedes".

6. Afslutning

Newtons hovedinteresse var matematisk fysik, mens Leibniz hovedinteresse var filosofi og matematik. Disse to giganters opfindelse af de generelle metoder for differential- og integralregning har spillet en central rolle i matematik, fysik og ingeniørvidenskab lige siden. De har også været afgørende for, at mennesker har kunnet lave rumfart, og den igen er en forudsætning for vore dages satellit-fjernsyn og GPS mm. Det er der nok bare ikke så mange ikke-fagfolk, der ved.

Her viser vi en side af et af Newtons originale manuskripter




Hvis du støder på et ord,
hvis betydning du ikke kender,
så søg på ordet.