Indledning

Baggrunden for udviklingen af differential- og integralregningen (også kaldet infinitesimalregningen) var 4 typer problemer i matematik og fysik:

1:
At finde forholdet mellem vejlængde, hastighed og acceleration. Det er et fysisk problem, hvis fulde løsning bl.a. kræver en ordentlig definition af hastighed og acceleration

2:
At finde tangenter til kurver. Tangenter og normaler havde man brug for i fysik ved fx linser og i bevægelseslæren

3:
At finde maximum og minimum af funktioner. Dette er også vigtigt for fysikken, bl.a i balistikken (dvs læren om kanonkuglers baner), og i astronomien, når man skal bestemme planeternes bevægelser

4:
At finde kurvelængder. Fx planeters bevægelse i et bestemt tidsrum; arealet af figurer begrænset af krumme kurver; rumfanget af figurer begrænset af flader; tyngdepunktsbestemmelse; tyngdekraftens virkning mellem to rumlegemer, fx planeter

Den historiske udvikling til Newton og Leibniz

Allerede i den græske Oldtid begyndte man at prøve at løse nogle af disse problemer, se matematikeren Eudoxos (÷345) og fysikeren og matematikeren Archimedes (÷250). Disse to grækere indførte exhaustionsmetoden, som er en forløber for integralregningen.

I Middelalderen opfandt fysikeren Nicole Oresme (1350) en slags grafisk fremstilling af hastighed, som var en forløber for flere forskellige slags matematik og fysik, bl.a. infinitesimalregningen.

I Renæssancen indførte franskmanden Francois Viète (1540-1603) en mere overskuelig måde at udtrykke sig matematisk på, og han var én af de første, der analyserede geometriske problemer ved hjælp af algebra. Den hollandske fysiker, ingeniør og matematiker Simon Stevin (se 1586) var en periode digeinspektør og lavede beregninger af tryk på sluseporte på en måde, som kom til at blive en forløber for integralregningen.

Én af matematikkens store fornyere, franskmanden René Descartes (se 1637, Descartes og 1637, koordinatsystemets historie) indførte koordinatsystemet og skabte dermed den analytiske geometri. Ved hjælp af denne metode kan geometriske problemer på en let og generel måde kan løses ved hjælp af algebra, som er "lettere" end geometri. Han fortsatte dermed Viètes arbejde. Descartes arbejdede bl.a. med at finde normaler, og dermed tangenter til kurver.

Andre tangentmetoder blev foreslået af franskmanden Pierre de Fermat (se 1657) og italieneren Evangelista Torricelli (se 1644).

Én af de andre opgaver for udviklingen af integralregningen, nemlig bestemmelse af arealer, rumfang og tyngdepunkter for flere og flere slags figurer, optog bl.a. Fermat; en anden franskmand Blaise Pascal (se 1648); og englænderen John Wallis (1616-1703). Wallis var én af Newtons inspirationskilder, og Wallis var også én af grundlæggerne af Royal Society. Deres metode var at dele fx et areal op i mange liniestykker eller mange tynde rektangler, lave flere og flere og mindre og mindre af slagsen, og så "gå mod uendelig". Det lyder måske lidt luftigt, og det var det også. Men det virkede! Og dermed var mange af den tids matematikere og fysikere tilfredse. Den matematiske præcisering, som førte til en definition af grænseværdi, kom først meget senere. (Se nedenfor).

Den hollandske fysiker Christiaan Huygens (1629-1695) var én af dem, der tidligt var kritisk over for det, han opfattede som en sløset indfaldsvinkel til infinitesimalregningen. Han var gode venner med Leibniz og kom dermed til at påvirke analysens fremtid. Men Huygens nåede ikke selv frem til den generelle formulering af differential- og integralregningen.

Én af fiduserne ved differential- og integralregning er, at de i en vis forstand er hinandens omvendte. Det kaldes analysens hovedsætning. Englænderen Isaac Barrow (1630-1677), som var Newtons lærer ved Cambridge University og hans forgænger som professor i matematik sammesteds, var én af de første, der skimtede denne sammenhæng ved at se, at tangent- og arealbestemmelse hænger sammen.

De "egentlige" opfindere af den moderne matematiske analyse (dvs denne differential- og integralregning, som også kaldes infinitesimalregning) var imidlertid Newton og Leibniz, som vi skriver om i næste afsnit.

Isaac Newton (1642-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

De store fremskridt i både matematik og fysik i sidste halvdel 1600-tallet hang sammen med forløbet af den naturvidenskabelige revolution. Mekanikken fik en førerposition med Galilei og Newton, og den har været meget matematisk siden Archimedes. Det store gennembrud for koordinatgeometrien og infinitesimalregningen betød, at matematiske og fysiske problemer, som før havde krævet næsten genialitet for at løse ét efter ét, nu kunne løses i almenhed med generelle og næsten mekaniske metoder.

Newton begyndte at skrive om sin version af infinitesimalregningen, fluxionsregningen, allerede i 1666; men han begyndte først at publicere sine ideer i forbindelse med udgivningen af sit andet hovedværk Opticks i 1704. Newtons uvilje mod at pulicere skyldtes to forhold: dels hans store konfliktskyhed, dels at forlagene på den tid havde fået kolde fødder over for at trykke matematikafhandlinger pgra. en konkurs, der skyldtes publiceringen af en matematikbog af Newtons forgænger, Isaac Barrow.

Leibniz begyndte først at skrive om sin version i 1675, og også han ventede med at publicere sine resultater. Hans første publikation om differential- og integralregningen kom i 1684.

Newton skabte sin metode ud fra mekanikken, dvs han så på variable, der ændrer sig med tiden: bevægelser, hastighed og acceleration etc.
Leibniz derimod så mere filosofisk på de grundlæggende ideer: Han betragtede variable, der varierer over "følger af uendelig tætte værdier".

Leibniz skabte bl.a. følgende følgende symboler:

• dx og dy for differentialer,dvs "uendelig" små tilvækster
• dy/dx for differentialkvotient
• ∫, dvs integraltegnet
• som er et stiliseret summationstegn S

Selv om Newtons og Leibniz ideer ikke var identiske, bidrog de begge til den fundamentale regning med differentation og integration. Det var disse to mænd, der skabte den generelle metode.

Desværre udviklede forholdet mellem disse to giganter sig negativt, og det endte med en ødelæggende prioritetstridighed, hvor næsten alle Europas matematikere blandede sig. Newton misbrugte sin position som præsident for Royal Society, og Leibniz misbrugte sin position som redaktør af ét af de mest ansete matematiske tidsskrifter, Acta Eruditorum. De arbejdede også begge anonymt i striden.

Måske fik Newton sine ideer lidt før Leibniz; men det var Leibniz formuleringer, der "vandt".

Tiden umiddelbart efter Newton og Leibniz

Mange matematikere deltog i kampen mellem Newton og Leibniz. Som sagt var ingen af hovedpersonerne fine i kanten, og det endte med, at Europa blev delt i to lejre, hvad der desværre førte til en isolering af den engelske matematik i ca. 100 år efter Newtons død.

I Schweiz fandtes der omkring denne tid en hel familie af begavede matematikere og matematiske fysikere: Bernoulli familien. Brødrene Jakob (1654-1705) og Johann (1667-1748) (som var elev af Leibniz) deltog i kampen, mest på Leibniz side. De var også med til at popularisere Leibniz ofte svært tilgængelige artiker og til at videreudvikle infinitesimalregningen.

Leonhard Euler (1707-1783) var også en schweizisk matematiker og fysiker, elev af Johann Bernoulli. Euler blev inviteret til Skt. Petersborg til Det Kejserlige Russiske Videnskabernes Akademi, skabt af zar Peter den Store, hvor Euler boede i mange år. Han var ligesom Leibniz én af skaberne af den moderne matematiske terminologi og notation, bl.a. inden for infinitesimalregningen.

Præciseringen af definitioner og fremgangsmåder i differential- og integralregning

Den irske teolog og filosof, George Berkeley (1685-1753), skrev i 1734 i sin Analyst en voldsom kritik af den matematiske analyses grundlag. I sin polemik langede han ud efter begreber som infinitesimaler (dvs "uendelig små størrelser"). Når matematikerne angreb teologerne for luftige begreber, sagde Berkeley, så brugte de selv lige så luftige begreber!

Den præcise formulering af differential- og integralregningens begreber (herunder bl.a. grænseværdi) kom først i 1800-tallet med den franske matematiker og fysiker Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og den tyske matematiker Karl Weierstrass (1815-1897).

Det skete på et tidspunkt, hvor mange matematikere følte et stort behov for at "få ryddet op i matematikkens grundlag". Selve tallene, dvs især sige de reelle tal, som "udfylder" tallinien i modsætning til de hele tal og brøkerne, savnede et grundlag. Det fik de med Cauchy og Weierstrass. Og så var vejen endelig banet for en præcis formulering af infinitesimalregningens begreber og fremgangsmåder.

Weierstrass indførte sin berømte ε-δ formulering
ved grænseværdibetragtninger, som er meget vigtige i analysen. Weierstrass kaldes "den matematiske analyses fader".

Afslutning

Skabelsen af differential- og integralregningen er næsten det mest afgørende, der er sket historisk inden for matematikken og fysikken!

Kopier af historiske sider

Hvis du støder på et ord, hvis betydning du ikke kender, så søg på ordet.