1. Newtons beskrivelse af kræfternes parallellogram

Newton formulerer reglen om kræfternes parallellogram i tilknytning til figuren til venstre:

"Korrolar II.- Det følger, at to skrå kræfter AB og BD kan sammensættes til en direkte kraft AD; og modsat, at en vilkårlig direkte kraft AD kan opløses i to skrå kræfter AB og BD - og denne sammensætning og opløsning er rigeligt bekræftet i mekanik."

Stevins version af kræfternes parallellogram (1586) handler om mekaniske kræfter fra to snore, der er fastgjort på en partikel. Newton tænker mere generelt. Hans kræfter kan være mekaniske, specielt gnidningskræfter, men de kan også være tyngdekræfter eller magnetiske kræfter. I dag opfatter vi kræfter som vektorer, det gjorde Newton ikke. En moderne formulering af reglen kan lyde således:

Når en partikel P er påvirket af to kræfter K og L, har de samme virkning på partiklen som kraften M = K + L.

K og L kan altså erstattes af M, og omvendt kan M opløses i de to kræfter K og L. Man kalder de to kræfter K og L for komposanter af M i de to retninger, som disse to vektorer har. Med udtrykket "samme virkning" mener vi, at den øjeblikkelige acceleration af P ikke ændres. Hvis specielt K og L sammen med andre konstante kræfter holder P i ligevægt, da vil ligevægten bevares, hvis K og L erstattes af M.

2. Eksempler på anvendelse af kræfternes parallellogram

Eksempel 1

Først vil vi udlede Stevins skråplansregel (se 1586) ved hjælp af kræfternes parallellogram.

På figuren til højre viser vi et glat skråplan. De skrå sider har længderne a og A. Vi vil finde betingelsen for, at de to legemer med masser m og M holder hinanden i ligevægt. Vi opløser de to tyngdekræfter, der har størrelserne mg og Mg, efter skråplanets retning og retningen vinkelret derpå. Da der ikke er gnidning, ophæves de to kræfter, der er vinkelrette på skråplanet af skråplanets tryk på masserne. Derfor trækker den lille masse i snoren med kraften mg·cosu, og den store masse trækker i snoren med kraften Mg·cosv. Ligevægtsbetingelsen bliver derfor, at mg·cosu = Mg·cosv eller

Argumentet ovenfor er let at finde på, hvis man kender reglen om kræfternes parallellogram, det kræver ingen opfindsomhed. Det gjorde derimod det argument, som Stevin brugte til at finde det samme resultat hundrede år tidligere. Stevins ide er en af de mest lysende i fysikkens historie. Man kan faktisk godt forstå, at der blandt ældre fysikere, bl.a. Huygens, var en form for skepsis over de nye hjælpemidler og metoder, der blev fundet i slutningen af 1600-tallet. Nye resultater, som før havde krævet geniers indsats, kunne jo nu findes af hvem som helst. Men så må man på den anden side betænke, at genierne på ingen måde blev arbejdsløse, de kunne nu tage fat på meget mere komplekse problemer.

Eksempel 2

På figuren er tre sorte legemer med masser 2, 3 og 4 kg ophængt i tre snore, der er bundet sammen i den lille partikel P, som ikke har nogen masse. Vi antager, at ligevægten har indstillet sig, og vi vil beregne de to vinkler v og u. Vi måler her kræfter i enheden kg*, der er tyngdekraften på en masse på 1 kg. På figurerne har vi vist de to snorkræfter, som oppefra påvirker P. De holder P i ligevægt sammen med den nedadgående kraft fra legemet på 4 kg*. (1 kg* er størrelsen af den kraft, som tyngden påvirker en masse på 1 kg med. kg* bruges undertiden som kraftenhed.) Så hvis de to snorkræfter oppefra adderes som vektorer, må resultatet blive en lodret opadrettet vektor med længde 4, sådan som det er vist på figuren. Nu er resten matematik. I trekanten med den grønne vinkel kender vi alle tre sider. Af den sidste formel på siden om trigonometri fås så, at cosv = (16+9-4)/2·3·4 = 0,875, så v = 28,95° og cosu = (16+4-9)/2·2·4 = 0,688, så u = 46,57°. Disse vinkler bestemmer, hvor skrå snorene er i ligevægtsstillingen.

For at finde ud af, om jeg har regnet rigtigt, lavede jeg en model af opstillingen. Med den nøjagtighed man kan se, passer det.

Eksempel 3

Medens Newton havde kendskab til eksempler som de to første, ligger det eksempel, som vi nu går i gang med, udover hvad man magtede på Newtons tid. Vi tager eksemplet med her, fordi det illustrerer rækkevidden af sætningen om kræfternes parallellogram.

Figuren forestiller en cylinderformet centrifuge, der drejer jævnt om Y-aksen med c omdrejninger i sekundet. I centrifugen er der væske, f.eks. vand. Vi venter, til vandet deltager i rotationen, så hver enkelt lille vandpartikel bevæger sig c gange rundt om Y-aksen hvert sekund. Det samme forudsætter vi om de luftpartikler, der befinder sig tæt på væskeoverfladen. Partiklerne bevæger sig ikke i forhold til hinanden. Så vil vandet være slynget ud mod cylinderens lodrette vægge, og vandoverfladen vil være krum. Den er begrænset af en kurve, nogenlunde som den røde kurve på figuren. Vi vil nu, ved hjælp af kræfternes parallellogram, finde formen på den røde kurve. Lad os sige, at den i det viste koordinatsystem har ligningen y = f(x).

Vi betragter nu en lille terningformet vandpartikel P, der ligger i vandoverfladen. x er partiklens afstand fra Y - aksen, og m er dens masse. P er påvirket af en tyngdekraft T, der peger lodret nedad. Og så er den påvirket af kræfter fra sine nabovandpartikler. Her er det af afgørende betydning for vores argument, at den samlede virkning af kræfterne fra nabovandpartiklerne er en kraft N vinkelret på vandoverfladen. På den lille figur til venstre kigger vi på den grå vandpartikel. Den er påvirket af en kraft på hver af de 6 sider. De 4 kræfter, der er parallelle med vandoverfladen, ophæver hinanden to og to. Ellers ville der skabes relativ bevægelse i overfladen. Kraften N2 må være vinkelret på overfladen. Ellers ville der skabes relativ bevægelse, både i luften og i væskeoverfladen. Endelig er der kraften N1 på partiklen fra en dybere liggende partikel. Den er større end N2, fordi trykket indad i væsken overstiger luftens tryk. N1 må også være vinkelret på partiklens overflade, ellers ville der skabes relativ bevægelse i vandet. Resultatet er, at den resulterende trykkraft N = N1 - N2 er vinkelret på vandoverfladen.

Den resulterende kraft på vandpartiklen er da R = N + T. Nu bevæger P sig i en cirkel med radius x og med hastighed v = 2πxc. Ifølge Huygens formel for accelerationen i en jævn cirkelbevægelse har P accelerationen w = v²/x = 4π²xc². Ifølge Newtons 2. lov er den resulterende kraft på P derfor R = mw = 4π²xmc². De to trekanter på figuren er ensvinklede, og forholdet mellem tilsvarende sider er T. Derfor er

4π²xmc² = Tf ´(x) = mgf ´(x),

hvor g betegner tyngdeaccelerationen.

Heraf følger, at

y = f(x) = (2π²c²/g)x²

Kurven er altså en parabel, og vandoverfladen er derfor en omdrejningsparaboloide! En omdrejningsparaboloide er den flade, der fremkommer, når den røde parabel drejes om Y - aksen. -Jeg har lige lavet en dimensionskontrol af udtrykket. Det stemmer!

Selv om vi springer i tid, nævner vi et interessant eksempel på anvendelse af denne overfladeform. Mens la Cour var lærer på Askov i 1890-erne, brugte han på en mørk overskyet nat kviksølv i stedet for vand i centrifugen, som var anbragt udendørs. Så placerede han en kraftig lyskilde (en lysbue) i paraboloidens brændpunkt. Derved fik han et parallelbundt af lys sendt op mod skyerne, og han kunne se en lys plet, hvor strålen ramte skyernes underside. I forvejen havde han sendt en medarbejder ud ad vejen til Malt, og han målte så, hvor højt lyspletten, set derfra, stod over horisonten. Så kunne man beregne skyhøjden. Det var den første danske måling af den slags.

Hvis du støder på et ord, hvis betydning du ikke kender, så søg på ordet.