KAPITEL 2
|
212b 8.
Efter at disse ting er afklaret, lad os da nøje overveje selve bevægelsen af hjulene. Forøges ζ med dζ så lad os undersøge, hvor meget η i mellemtiden vokser. Dette gøres bekvemt ved at benytte ligningen ccosω = r + s + pcosΦ + qcosΨ. Denne ligning er bevist som ligning (5) på side 210 i kapitel 1. Ved differention af ligningen fås, at -cdωsinω = dr + ds +dpcosΦ-pdΦsinΦ + dqcosΨ-qdΨsinΨ. Men dr = -dpcosΦ, se øverst på side 211b i kapitel 1 og og ds = -dqcosΨ hvoraf cdωsinω = pdΦsinΦ + qdΨsinΨ, hvorfra, når csinω = psinΦ + qsinΨ, (Denne ligning stammer fra (1), side 210.) det vil gælde, at 0 = (dΦ - dω)psinΦ + (dΨ - dω)qsinΨ Men dω - dΦ = dζ og dΨ - dω = dη. Dette følger af * i kapitel 1 side 208. Heraf følger, at pdζsinΦ = qdηsinΨ eller
Altså holder η´s og ζ ´s indbyrdes ændringer det samme forhold som de momenter, der skyldes trykket Π. (Se nederst på side 209 i Kapitel1.) | Figuren stammer fra Kapitel l. Vi forklarer her, hvad figuren forestiller. A og B er centre for to tandhjul A og B med henholdsvis a og b tænder. Punktet T ligger sådan, at TA/TB = a/b. Kurven EOM er den ene side af en tand på tandhjulet med centrum A. Når hjulene drejer har stangen AE konstant længde; det symboliserer at tanden sidder fast på tandhjulet med centrum A. På samme måde er kurven FON den ene side af en tand på tandhjulet med centrum B. Når hjulene drejer har stangen BF har konstant længde; det symboliserer at tanden sidder fast på tandhjulet med centrum B. De to tænder rører hinanden punktet O. Man kan bevise, at når tandformerne er sådan, at begge tandhjul drejer sig med konstant vinkelhastighed, så vil fællesnormalen til tænderne i punktet O gå gennem det faste punkt T. Dette resltat nåede Euler frem til i afsnit 4. De 4 linjestykker AT, BT, AE og BF har konstante længder. Alle de andre linjestykker, AP, PO, PE, BQ, QO, QF og TP, har varierende længder når tandhjulene drejer. Alle vinkler er variable. |
|
9. Nu bør vi opnå, at dette forhold vedholdende er konstant, eller at en konstant vinkelhastighed for hjulet A holder vinkelhastigheden for hjulet B konstant. Da altså forholdet psinΦ : qsinΨ må være konstant, så vil punktet T være fast. Sættes AT = a og BT = b vil c = a + b. Derfor vil psinΦ = asinω og qsinΨ = bsinω.
Heraf følger, efter at vi har set bort fra gnidningen, at hvis vi kalder det moment, som får hjulet A til at bevæge sig, for M, så vil momentet på det andet hjul være
b/a·M. Men så vil forholdet mellem vinkelhastighederne være
| Det undrer mig stadigvæk, at Euler inddrager begrebet moment i sine overvejelser |
|
10. Derfor vil det være sådan, at hvis tandformen EOM er givet, så vil det andet hjul FON´s form og position være bestemt. For lad os antage, at det for tandformen EOM gælder, at der findes en ligning mellem afstanden AP = p og vinklen EPO = Φ hvoraf PO = r = b - ∫dpcosΦ, og herudfra findes vinklen ω straks idet sinω = psinΦ/a. Lad nemlig AT = a føjes til linjen OP. Da dette kan gøres på to måder, får man to værdier af ω, den ene spids og den anden stump ved hvilket ζ = ω - Φ. (Jeg forstår ikke ovennævnte integration.) Så ud fra den rette linje AT ´s position, når man antager at AB = a + b = c, så vil det andet hjuls centrum B og fremdeles qsinζ = bsinω = bpsinΦ/a. Men da der også gælder, at qcosΨ = ccosω - r - s - pcosΦ, men det vil også gælde, at ds = -dqcosΨ. Eller når det gælder, at adζ = bdη eller cdω = adΦ + bdΨ eftersom ζ = ω - Φ og η = Ψ - ω så vil aΦ + bΨ = cε + cω, hvor ε betegner en vis konstant vinkel, der kan vælges vilkårligt; hvorfra man definerer vinklen FQO = Ψ = (cε + cω - aΦ)/b eller η = (cε + aω - aΦ)/b =(cε aζ)/b; Og således bestemmes positionen af den rette linje BF i hvilken BQ = q =(bpsinΦ)/asinΨ. Men ud fra punktet Q, som også den rette linje TPO angiver, erkendes tandpunktet O på tandformen FON. | I afsnit 10 beskæftiger Euler sig for første gang med formen på de to kurver EOM og FON. Euler beviser her, at kurven EOM kan vælges vilkårligt, og at man derefter kan beregne formen af FON således, at de to kurver hele tiden rører ved hinanden, når hjulene drejer hele vejen rundt. Når man skal konstruere tandhjul, skal man kun bruge små stykker af de kurver, som Euler beskriver. Det vender han senere tilbage til. |
|
11. Nu vil vi ud fra et vilkårligt punkt O på tanden EOM konstruere det tilsvarende punkt på tanden FON. Og da vi betragter en bevægelse der varer et kort tidsrum, så vil det for elementet Oo på den første tand være muligt at bestemme elementet Oω på den anden tand. Til det formål skal vi bruge Oω´s krumningsradius, som vi har fundet ovenfor. Krumningsradius er
Ifølge figuren i afsnit 9 gælder også, at
Ved differentiation af denne formel får man, at d(qsinψ) = (b/a)(dpsinφ - pdφcosφ), således at krumningsradius er
Men eftersom dψ = (cdω - adφ)/b og dωcosω = (d·psinφ)/a vil vi få, at
og den søgte krumningsradius er derfor
Men den givne kurve EOM´s krumningsradius i i O er
hvoraf r + s + pcosφ + qcosψ = ccosω. Summen af de to krumningsradier er derfor
| Formlen for krumningsradius fås af formlen for VO i afsnit 6 ved at "oversætte" den fra hjulet med centrum A til hjulet med centrum B. |
|
12. Fordi den rette linje BF´s position ikke influerer på tandformen, men kan antages efter et skøn, når formen er givet, ligesom den også kan forstås skønsmæssigt ud fra den konstante vinkel ε, så vil det være tilstrækkeligt, når man har fjernet den rette linje helt fra sammenhængen, at have noteret sig størrelsen af krumningsradius OQ, hvoraf også på grund af at s + q cosψ = ccosω-r - pcosφ, størrelserne q og s med vinklen ψ går ud af regningerne, således at den nævnte krumningsradius er
Efter at denne størrelse er kendt og fordi den rette linje TPO´s position er fast, så vil, når denne linje er forlænget ud over O, så vil denne størrelse have Q som centrum; ud fra dette kan en lille cirkelbue beskrevet ved hjælp af radius QO give en passende tandform FON. I de følgende eksempler vil vi beskrive og bestemme disse tandformer | Kommentarer |
